无穷 · 部分等于整体

再多讲一点

「一样多」在无限集合里的定义是：能否建立一一对应。自然数与偶数可以配对——1 对 2、2 对 4、3 对 6，每个自然数都唯一对应一个偶数，反之亦然。所以按集合论的基数定义，两者大小相同，都记为 ℵ₀（阿列夫零）。这跟有限集合的直觉完全不同。

• 整数、有理数也都是可数无穷，都可以排成一个序列；实数不行，康托尔的对角线论证证明了这一点。
• 这个结论在 19 世纪末引起激烈争议，康托尔本人遭受强烈攻击，但今天它已是集合论的基础。
• 「部分小于整体」这条欧几里得公理只对有限集成立，对无限集必须放弃，这是数学史上的一次观念转折。