芝诺 · 追不上的乌龟

再多讲一点

芝诺的论证是：阿基里斯要追上乌龟，必须先到达乌龟的起点；但那时乌龟已经前进了一段；他再到那段的新起点，乌龟又前进了一点……如此无限。错误在于把「无限多段」等同于「无限长时间」。这些时间段是等比数列：1/2、1/4、1/8……它们之和收敛于一个有限值。微积分的极限概念正是为了处理这类问题。

• 芝诺还提出了「飞矢不动」等悖论，核心都在于用离散的瞬间去描述连续的运动。
• 这个悖论在数学上被柯西与魏尔斯特拉斯的极限理论彻底解决，但那要等到 19 世纪。
• 在物理层面，「时空是否连续」至今仍是开放问题，普朗克尺度以下是否还有意义并不清楚。