无穷 · 也有大小之分

再多讲一点

康托尔用对角线论证证明了实数不能与自然数一一对应：假设可以列出所有实数，构造一个新的数，让它的第 n 位小数与列表中第 n 个数的第 n 位不同，这个数就必然不在列表里，矛盾。由此实数集的基数大于自然数集，前者记为 ℵ₁（连续统）。无穷之间可以比较大小，这是 19 世纪数学最反直觉的结论之一。

• 「连续统假设」（是否存在介于 ℵ₀ 与 ℵ₁ 之间的基数）被证明在标准集合论公理下既不能被证明也不能被证伪。
• 康托尔因这些工作遭到同代数学家的强烈抵制，晚年精神状况恶化，1940 年代哥德尔与科恩的工作才彻底确立了它的地位。
• 可数无穷之上还有更高阶的无穷，幂集运算可以不断生成更大的基数，没有上限。