质数 · 永远还有下一个

再多讲一点

欧几里得的证明是反证法：假设质数只有有限个，记为 p₁、p₂……pₙ。构造 N = p₁×p₂×…×pₙ + 1。N 除以任何一个 pᵢ 都余 1，所以它不能被列表中任何一个质数整除。那 N 要么本身是新的质数，要么能被一个不在列表里的质数整除——两种情况都与「质数只有这些」矛盾。

• 这个构造出来的 N 本身不一定是质数，比如 2×3×5×7×11×13+1 = 30031 = 59×509。
• 证明的意义在于它不依赖具体的质数列表，适用于任意有限列表，因而是完全的一般性证明。
• 质数的分布规律（如相邻间隔、孪生素数猜想）至今仍是数论的核心难题。